本文将会对 protection leg 进行建模，并进一步探讨利率期限结构、预期回收率的建模方法，最后利用整合出的公式举例计算 CDS 的价值。

Protection leg 的价值是在信用事件发生后支付的保险的面值 (100% - R)。R 是预期回收率——准确地说，它是 CTD 债务在信用事件发生时进入保险的预期价格。在信用事件通知和 Protection leg 部分付款结算之间可能有长达 72 天的延迟，但我们通常假定这种付款是立即进行的。

在为保险部分定价时，考虑信用事件的时间是很重要的，因为这可能对保险部分的现值产生重大影响——尤其是对期限较长的违约互换。在危险率方法中，我们可以通过调节time tV和time tN之间的每个小时间间隔【s,s+ds】来解决这个计时问题，信用事件可能在这个时间间隔上发生。步骤描述如下：

1. 计算存续到未来某一时刻s的概率等于 Q(tV,s)

2. 计算下一个小时间增量中发生信用事件的概率 ds，即由 λ(s).ds。

3.在这一点上，金额 (100% - R) 已支付，我们贴现回今天的无风险利率 Z(tV,s)。

1. 然后我们考虑从 s = tV 到到期日tN在任何时间发生这种情况的概率。严格地说，信用事件的时间不应该小于一天。然而，假设一个信用事件可以在当天发生，对估值几乎没有影响，所以我们简化了阐述。

现在，我们能得出预期回收价值的贴现值，即：

式中，R 为 CTD 资产在信用事件发生时的预期回收价格。这个积分，使得这个表达式计算起来很繁琐。有可能表明，我们可以在没有任何准确性损失的情况下，简单地假设信用事件每年只能在有限数量的M个离散点上发生。对于 tN 年期的违约互换，我们有 M×tN 离散时间，我们标记为 M =1。, M×tN。然后,我们有

M的值越小，需要做的计算就越少。然而，这也意味着精度降低了。在利差变化方面，对于扁平风险率结构，连续和离散情况下计算的利差的百分比差为r/2M，其中r为连续复合无违约利率。这种近似的质量是不同的值显示在图7的M和r。例如,假设r = 3%, M = 12(对应于每月的间隔)我们有一个百分比误差传播的0.125%，也就是说，绝对误差1 bp 800个基点的传播而连续的情况。这种精确度完全在典型的买卖价差之内。

我们尚未讨论的一个必要的投入是回收率 R，不像利差或利率期限结构，这不是一个市场可观察的投入。预期回收率 R 不是默认后的训练过程中资产的预期值。相反，它是 CTD 资产的价格，以面值的百分比表示。这类似于穆迪(Moody's)等评级机构对回收率统计数据的定义。

不过，对于评级机构的回收统计数据，有一些需要注意的地方:(i) 评级机构不认为重组是违约，而标准违约互换 (CDS) 则认为是违约；(ii) 他们严重偏向于美国公司，因为美国公司是违约数据最多的来源，因此可能不适用于其他国家的公司；(iii) 它们是历史的，而不是面向未来的，因此没有考虑市场对未来的预期；(iv) 它们没有具体名称或部门。尽管如此，对于高质量的投资级信用，大多数经销商使用评级机构的回收率数据作为起点。

这些债券通常按优先级和信用工具类型显示平均回收率，通常关注于美国公司债券。对非美国公司名称和某些工业部门可能进行调整。

使用估价模型从债券价格中提取关于回收价值的信息可能是克服这一校准问题的一种方法。然而，对于优质债券来说，这是困难的，因为违约概率低，意味着回收率仅是债券价格的一小部分，与买卖价差的数量级相同。然而，在低息差水平下，违约互换的按市价计价对回收率假设的敏感性非常低。信用质量低得多的债券对回收率的敏感性要高得多，我们希望，较低的债券价格开始揭示更多有关市场对未来回收率预期的信息。

我们现在提出了一种重视cd的保险和溢价的模式。下一步是根据市场报价的违约互换价差计算存续概率。这是损益均衡分布，即

Premium Leg 的 PV = Protection Leg 的 PV。

对于一个新合约，我们有 tV = t0，因此，将公式代入并重新排列，我们得到

对于盈亏平衡点，其中 RPV01 定义为式 (5)。

现在我们有了市场上的违约互换价差与其所暗示的存续概率之间的直接关系。然而，这仍然不足以使我们能够提取所有必需的存续概率。为了了解这一点，考虑一个 1 年期 CDS 的例子，它的报价价差为 85 个 bp。假设保费阶段的季度支付、每月离散化频率 (M=12) 和保费累计，可以将公式改写为

在这个方程中，我们知道了所有的应计因素，我们可以对回收率 R 做一个假设，我们可以通过 Libor 折现曲线计算出所有的 Libor 折现因素。我们需要知道的是 12+4=16 的最大存活概率。显然，这个方程不能给出所有的存续概率。因此，我们需要对存续概率的期限结构做一个简化的假设。

首先，长期保险违约互换头寸的全部市值是

其中如保费是合约的一部分，则 1PA=1，否则为 0。通过求解给出了当前市场扩散到到期日 S(tV,tN) 的价值

下面显示了一个违约互换按市价计价的完整计算示例，初始交易时合约价差为 200 个基点的 1000 万美元多头保险头寸。并给出了存续概率和折现因子。如果我们现在有了所有的折现因子、存续概率和累积因子，那么风险 PV01 也很容易计算。

Libor RatesDefault Swaps6m1.351y110bp1y1.432y120bp2y1.903y130bp3y2.474y140bp4y2.9365y150bp5y3.311Recovery Rate R40%本金10,000,000频率每季度合约利差200bp计算基础360 天日/年乘数现金流存续概率Libor 折算因子0.26111152,222.2299.567%0.996490.25277850,555.5699.150%0.993110.25277850,555.5698.657%0.989530.25277850,555.5698.164%0.985830.25277850,555.5697.628%0.980840.25277850,555.5697.092%0.975230.25277850,555.5696.559%0.968990.25277850,555.5696.030%0.962180.25555651,111.1195.420%0.954500.25277850,555.5694.815%0.946300.25000050,000.0094.220%0.937540.25555651,111.1193.616%0.928000.25555651,111.1192.934%0.918790.25277850,555.5692.259%0.909310.25000050,000.0091.597%0.899460.25555651,111.1190.924%0.888990.25555651,111.1190.173%0.87902

根据模型，这一保护措施是在 200 个基点时买入的，价差已经收窄，目前剩余期限的市场价差为 142.7 个基点。值得注意的是，目前的盈亏平衡价差是基于模型在 4Y 和 5Y CDS 价差之间进行的 140 和 150 个基点的插值，但考虑到现有合约的剩余期限为 4 年零 3 个月，盈亏平衡价差更接近于前者。按市价计算，该指数为负，为 - 22.3 万美元。

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